摘要：新一轮课程标准的颁布，标志着我国基础教育教学进入了核心素养导向的新阶段。人教版小学数学教材中的“数学广角”单元能够引导学生积累基本活动经验，渗透基本数学思想，因而起着落实数学学科核心素养的主阵地和先行者作用。张景中教育数学思想提供了落实小学数学学科核心素养的路径。具体实践路径如下：再创造数学内容，显化数学素养；积累活动经验，点化数学素养；共同解决问题，深化数学素养。

关键词：教育数学；数学学科核心素养；小学数学；“数学广角”

       中国学生发展核心素养明确指出核心素养以培养“全面发展的人”为核心,而“全面发展的人”最终要通过课程育人这个路径来落实。数学学科作为小学教育中的基础学科之一，是一切科学的工具。由于数学本身所具有的高度的抽象性、逻辑的严密性、应用的广泛性等特点，决定了它在培养学生理性思维及实践创新素养方面有着其他学科无法替代的作用。2018年1月，各学科的《普通高中课程标准》发布，最鲜明的特点是凝练了各个学科的核心素养，高中数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析。[1]新一轮课程标准的颁布，标志着我国基础教育教学进入了核心素养导向的新阶段。然而，如何深入推进数学课程立德树人，培养学生适应现代社会发展和终身学习所需要的数学学科核心素养？如何才能落实好学科核心素养导向下的课堂教学？这也是本文志在探讨的话题。

       一、教育数学的内涵及其对落实小学数学学科核心素养的价值

       1989年，张景中院士在《从数学教育到教育数学》一书中提出“教育数学”这一概念，他认为教育数学旨在将人们已经获得的数学知识，通过在结构的简约性和传承的有效性上实施再创造，以呈现给学生最值得的数学知识和最易于接受的简明逻辑结构，使得学生所学的数学更能够集中数学的精髓，更能够符合教育教学规律。其核心是，把数学变得容易学，提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新的精神。1994年，张景中院士在教育数学的理论著作《教育数学探索》中指出：为了促进数学教育，对人们已经掌握的数学成果实施再创造式的收集和整合，提炼成方便教学法改造的数学材料，为了实现这一目标而开展的研究活动，若能够发展起来而形成学科，就是教育数学。

       教育数学不满足于仅仅对数学材料进行教学法加工，还致力于对数学本身进行再加工、再创造，使之能更好地反映客观世界的空间形式与数量关系，并进一步改革数学课程，这是教育数学实践的缘起。教育数学三原理认为：在学生头脑里找概念，从概念里产生方法，方法要形成模式。[2] 事实上这是从知识论的角度阐明了教育数学的旨趣，也指明了在数学课堂上落实学科核心素养的路径。张奠宙指出，教育数学是数学的教育形态，主张体现数学本质要做到返朴归真、平易近人、言之有理、感悟真情。在数学教学中，应突出数学的文化本质，以本原问题驱动展现数学本质，利用数学史加深学生对数学本质的理解。[3]  沈文选认为，整合创新优化数学是走近教育数学研究的行动纲领，需要现实地改造并组织好数学材料，需要恰当地改变数学内容的呈现方式；返璞归真优化数学是走进教育数学研究的主要途径，需要从数学史的角度加深对数学本质的理解；需要追本溯源，以本源问题展现数学方法的本质；需要将火热的思考提高到“数学思想”的高度。[4] 这些专家学者都高度认可数学教育思想的价值，下列话语形象地揭示了教育数学的旨趣：把学数学比作核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它。数学教育要研究的，是如何砸核桃吃核桃。教育数学，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味、更营养、更容易砸开吃净。教育数学着眼于学生心理，改造数学本身；数学教育着眼于学生心理，使现有的数学更容易学习。两者的目标取向一致，但路径和方式不一样，两者可以互补。数学教育有了教育数学的支持，将不再走一条去数学化的数学教育之路；教育数学有了数学教育的支持，将有利于教育数学的最新成果引入到课堂教学之中。因此，张景中教育数学思想可以成为进一步深化课程教学改革、创新人才培养模式、发展学生核心素养、培养学生创新能力的重要抓手。

       二、教育数学视角下落实小学数学学科核心素养的路径探究

       2002 年在人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》二年级上册首次出现“数学广角”单元。“数学广角”作为“综合与实践”板块的重要内容，为小学生提供了更有趣的教学素材和更有价值的思考内容。数感、量感、符号意识、几何直观、空间观念、模型意识、数据意识、推理意识、运算能力等等这些数学学科核心素养的培养体现在“数学广角”的每一个单元中。因此，从立德树人的角度来看，应该对“数学广角”的教学提出更高的价值追求。

       《义务教育数学课程标准（2011版）》中对于整个“数学广角”单元确定的主要目标是：学会独立思考，体会数学的基本思想，经历运用数学的思维方式发现和提出问题、分析和解决问题的过程，获得数学思想方法；体验运用所学的知识解决问题的过程，获得初步的数学活动经验，感受数学的价值，增强学好数学的信心。[5]由此可见,人教版小学数学教材中的“数学广角”单元能够引导学生积累基本活动经验，渗透基本数学思想，因而起着落实数学学科核心素养的主阵地和先行者作用。人教版教材在编写“数学广角”单元时，在更加广阔的范围内，精心选择生动有趣的事物或问题作为学生积累基本思想和基本活动经验的载体，这些良好的素材和情境同时又能激活学生的数学思考和诱发数学探究活动，使抽象的数学学科核心素养为学生所喜闻乐见。这部分教材的编写，符合了教育数学思想的本质，即把数学变得容易学，提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新的精神。学生发展核心素养落实于数学学科不是指传授具体的数学知识与数学技能,也不是培养一般意义上的数学能力,它基于数学知识技能,又高于具体的数学知识技能,凌驾于数学思想与数学方法之上。[6]借助教育数学的理论视角，我们可以从下面三个路径来落实基于小学数学学科核心素养的教学。

       （一）再创造数学内容，显化数学素养

       弗赖登塔尔也强调数学再创造，弗赖登塔尔认为，“对学生和数学家应该同样看待，让他们拥有同样的权利，那就是通过再创造来学习数学，而且我们希望这是真正的再创造，而不是因袭和仿效”[7]，他强调的是学生数学学习过程中主观意义上的直接创造。教育数学的再创造关注数学成果本身内容、结构的再优化。迄今为止，一共进行了8次基础教育课程改革。尽管实施了一些改革，却仍然没有改变数学“难”的问题。其实数学教育面临的困难是多方面的，其中重要的一个方面就是数学本身难学。小学数学教材中的概念、法则、公式、性质等作为有“形”的知识点在教材中都有明显的呈现方式，而蕴含其中的数学学科核心素养作为一种无“形”的软知识散见于各单元各章节中。怎样解决数学本身的“难”？显然，只靠数学教育的研究不可能完全解决数学难学的问题。如果是数学知识本身有难度，就应当进行数学上的再创造，使数学适应教育的需要。

       人教版的“数学广角”单元，正是通过对数学知识的再创造，使得难以落实的数学学科核心素养，融入到学生喜闻乐见的生活场景中。因此，教师在备课阶段应该努力挖掘隐含在教材中的这条“暗线”，在教学时，常常思考本单元要渗透哪些数学学科核心素养，怎样渗透，渗透到什么程度。教师要做到这一点，应该在更高的站位下看待小学数学教材，至少知道初中数学、高中数学教材中，相应的数学学科核心素养是通过哪些素材来呈现的。这就需要教师掌握教育数学三原理，并且提倡对数学本身进行再创造，优化重组数学内容。“教育数学三原理很简单，即‘在学生头脑里找概念’‘从概念里产生方法’和‘方法要形成模式’，无非是说概念要平易、直观、亲切，逻辑推理展开要迅速简明，方法要通用有力”。[2] [8] 首先，“在学生头脑里找概念”，即先仔细分析一下学生在学习新知识之前，他掌握了哪些东西，由直观和经验形成直觉，加进最少的新东西让他进入一个新的领域，建立新概念。其次，“从概念里产生方法”。概念包含了丰富的关系，从概念里产生方法即从概念关系出发进行逻辑推理，形成定理、性质，定理性质包含了解决问题的方法。第三，“方法要形成模式”，即通过算法化形成解决问题的数学模型。这也正契合了数学抽象、逻辑推理和数学模型三个基本的数学学科核心素养，所以，教育数学通过再创造改造数学，经历了数学化的过程，还原了数学的本质，是具有教育形态的数学。一线老师这样做才能深入浅出的将隐含在内容背后的数学学科核心素养显化出来。

       如人教版六年级上册“数学广角”中的“数与形”，主旨是通过数形结合找到规律，建立数与形的联系，借助几何直观解决问题，给学生逐步渗透直观想象素养。按照教育数学三原理，第一步，“在学生头脑里找概念”，在小学教材中，数形结合的例子很多，比如之前的数学广角内容中，从三年级用维恩图表示集合的交，四年级用直观图表示烙饼的过程，到五年级用线段图探索植树问题的规律，无不渗透着直观想象的素养。第二步，“从概念里产生方法”，教材中2个例题，如下图1，例1先给图形再给算式，借助图形解决抽象的或是不好解释的数学问题。例2先给算式再给图形，教材编写者的意图是需要老师教会学生将数的规律用简单、直观的图形呈现出来。深入挖掘这两道例题，从数与形的概念中产生方法，其实就掌握了数形结合教学的两条实践路径，即引导学生“由形感数”和“以数悟形”。    

       第三步，“方法要形成模式”，讲解例1时先给学生呈现正方形的图形，引导学生由图形感知的数应该是正方形边长的平方，这即是“由形感数”。讲解例2时先给出算式，然后可以给不同的小组分发圆形、正方形或长方形纸片，引导学生用折纸的方法折出每个分数，然后将求和后的部分涂上阴影，让学生感受加数越多，阴影部分越接近于整个图形，这即是“以数悟形”。形成模式后就需要多加练习。练习题的选择均可以从这两个角度切入去引导学生，着实培养学生的数学抽象和直接想象的数学素养。

       “数与形”的教学之所以放在小学六年级，就是为初中阶段学习“变量之间的关系”打好基础，我们知道，初中、高中研究函数最重要的方法之一就是图像法。因此，在六年级的教学中就要为学生埋好伏笔，后续关于“变量间的关系”的学习中学生会很自然的联想到利用图像，这样就逐步渗透了“直观想象”的素养。很多一线教师把握不好数形结合的度，以至于本节课很容易上成找规律的课，偏离了教材编写者的意图。掌握了教育数学三原理进行教学，数学学科核心素养才能自然显化出来。

       （二）积累活动经验，点化数学素养

       为教育而优化数学，是教育数学的宗旨。在许多学校里，数学被教成一代传一代的固定不变的知识体系，他们不把几何定理、三角公式和代数方法这些人造的东西看成研究数学的产物，而看成就是数学本身。[9]学生为了应对考试而学习数学，失去了自由的思考，而数学的本质就是思考的充分自由。学生的思考一定要通过充分的活动经验来积累。数学需要突破传统思想和数学常识而获得进一步的发展，也需要在数学直观的基础上进一步抽象、概括、演绎推理。数学是系统化了的常识，常识要成为数学，必须经过提炼和组织凝聚成一定的法则，这些法则在高一层里又成为常识，再一次被提炼、组织，如此不断地螺旋上升，以至于无穷。[7] [10]这事实上说明了数学知识的来源，数学知识是什么的问题。数学知识是对学生已有经验的改造。

       从小学到初中到高中，数学学科核心素养凝练起来就是“三会”：会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的语言表达现实世界，会用数学的思维思考现实世界，[1][11]我们将这“三会”和高中公布的6个学科核心素养比较来看，数学的眼光即是抽象和直观，数学的语言即是模型和数据，数学的思维即是推理和运算，当然，由于学段的不同，孩子思维发展的阶段不同，学科核心素养将有程度深浅的划分，我们进行一个对比，见下表1。通过表1的分析可见，对于数学学科核心素养的渗透体现了逐级递进、螺旋上升的原则。在不同的学段，针对数学学科核心素养，对学生有不同的要求。例如：小学只需要学生具备模型意识，初中则需要学生具备模型观念，高中需要学生掌握数学建模。学生数学学科核心素养的渗透必须有一个长期的循序渐进的过程，必须经过教师有意识地潜移默化地启发才能让学生真正领悟。为此,在教学中,教师要把握好渗透数学学科核心素养的契机，让学生充分经历积累基本活动经验的过程,通过观察、探索、实验等多种形式的探究活动让学生领悟基本数学思想,逐步点化学生的数学学科核心素养。

       表1 数学学科核心素养在不同学段的体现

       以学生数学概念学习为例，我们知道，概念学习不能从抽象定义出发，而应该从具体事例出发，通过感知、抽象其共同本质属性，并概括到同类事物中，这样才是理解概念的内涵、掌握概念的本质。由此，概念教学应采取归纳式，让学生用概念形成的方式学习概念，其中的核心是感知、归纳同类事物的共同属性，在抽象、概括出本质属性后再给出定义，这是获得数学研究对象的基本过程，教学中必须把握好这个过程。数学广角中的一些案例，可以让学生通过角色扮演体会知识的生成过程。数学是思维的体操，教师一定要给足学生思考的时间，切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。

       如人教版四年级上册“数学广角”中“优化”问题是生活中经常会遇到的问题，例如如何利用有限的空间使储存量更大，使用哪些交通工具出行时间最短等，这些思想成了数学中的一门分支——运筹学，体现的是优化的思想。优化的思想来源于生活，且实实在在的为生活提供便利。这样的课程内容，更多的应该让学生通过亲自去体验、总结经验并上升到数学模型。尽管课堂时间有限，也不能放弃课堂活动的设计。教师在课堂上可以采用可实现的活动形式让学生积累活动经验。比如：“沏茶问题”可以提供给学生茶壶、水杯、茶叶等相应的模具，让学生虚拟的感受一下实际的过程；“烙饼问题”可以用平底锅的模具代替平底锅，正反两面颜色不同的圆形纸片代替饼，然后分小组，让同学们虚拟的去烙一烙；“田忌赛马”问题，可以创设类似的问题情境，将班里的男女生各抽出速度不同的三人，在已知百米速度的情况下，让每位“小指挥官”设计不同的出场方案，在不确定另一方出场方案的情况下，这个开放的问题情境不仅涉及到“优化”的内容，还涉及一些“博弈论”的思想，本节课的内容也得到了相应的拓展和升华。学生在积累活动经验的过程中，数学学科核心素养也被逐步点化。

       （三）共同解决问题，深化数学素养

       美国数学家哈尔莫斯曾经说过：数学的核心应该是越过这些表面知识的内在问题、思想和方法，并且问题是数学的心脏，思想是数学的灵魂，方法是数学的行为。“数学广角”单元素材均来源于生活，将生活中的问题高度抽象、概括成数学问题，让学生学会用数学的眼光去看、用数学的思维去想、用数学的语言去表达。虽然教材中的问题情境是很好的落实数学学科核心素养的素材，但是怎么用好这些问题情境，使得学生能够真正通过解决问题而提升素养，这是一线老师应该深入思考的问题。笔者建议，一线教师在数学教学中，推导过程必须通俗易懂，不仅使学生容易理解，还便于记忆，并多举例子，促进学生不但知其然，而且知其所以然。同时可以采用一题多问、一题多解、稍微改变题设和结论等方式研究一类题，探索一类问题的解法，从而不断激活学生的数学思维，培养学生数学思维的灵活性，进一步深化数学素养。教师设置问题时应该尽可能的开放，一个开放的问题情境有助于学生大胆的去放手探索，更能激发学生求知的兴趣，且会有更多精彩的课堂生成。当然这需要教师具有较高的教学机智，面对课堂上生成的创新点能及时回应学生并给予指导。始终要明确的是，“数学广角”单元里丰富多彩的问题情境，一定不是为了给予学生方法论的指导去记住模型的结论，而是要助推学生进行数学思考，并提升思维品质。

       如人教版五年级上册“数学广角”中“植树问题”主旨是让学生经历从实际问题出发建立数学模型的过程。例题 1（见下图2）要求学生在线段两端及其上种树的问题。教材给出了具体的解题思路和对策，层层递进，启发作用明显。教材分三个层次进行了呈现。第一个层次先由男生说出很多学生容易出错的情况——直接除，接着由女生的质疑引出可以用画图的方法来进行验证，小精灵的提示“100m 太长了……”渗透了化繁为简的化归思想。第二个层次是学生用示意图和线段图解决问题的过程，用示意图给出了 20 米栽树的完整过程，用线段图提示了 25 米栽树的部分过程，为学生总结规律奠定基础。第三个层次是引导学生用简洁的语言来概括此类问题的一般规律：两端都植树时，植树的棵树比间隔数多 1，并运用它解决数值更大的问题。 教学时教师通过设置一个开放的空间，在长20m的小路一边植树，每隔5m栽一棵树。一共要栽多少棵树？让学生自主探究这是一条怎样的小路？引导学生自己发现植树问题的三种情况，让学生体会数学来源于生活。

       在解决“棵数”和“间隔数”这两个数量关系的过程中，让学生通过摆一摆、画一画、算一算的活动，积累基本活动经验，感悟数学基本思想。在重点研究了“两端都栽”的基础上，放手让学生自主探索“只栽一端”和“两端不栽”所蕴含的规律，通过解决问题建立了数学模型。再出示生活中丰富的问题模型，让学生进一步理解植树问题的本质，即“棵数”与“间隔数”这两个量之间的关系。钟声问题的练习：广场上的大钟5时敲响5下，8秒钟敲完。12时敲响12下，敲完需要多长时间？使这一类问题的呈现方式更加丰富，拓展了学生的认知空间，给了学生一双用数学的眼光看世界的眼睛。教师通过设置开放的问题情境，让学生从探究一条小路的三种情况出发，完整的经历了问题解决的全过程，数学学科核心素养得到了全面深化。

综上所述，教育数学思想，给了我们一个落实学科核心素养的课堂教学的路径和方向。这需要我们再创造直观、生动、内容丰富、有浓厚趣味的数学内容，让学生充分积累活动经验，并且提供给学生有通用效能的解题方法与解题模式，以帮助学生更好、更容易地理解和掌握数学的基本知识和基本技能，并学会数学的思维，进而增强学生的综合能力。（本文发表在《新课程评论》2021.02期，中国人民大学复印报刊资料《小学数学教与学》2021.06期全文转载）

 注：本文系2019年甘肃省教育科学“十三五”规划课题“基于核心素养的小学‘数学广角’内容的设计与实施的实践研究”（课题编号：GS[2019]GHB2048）的研究成果。

参考文献：

[11]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)［M］.北京:人民教育出版社，2018:6-9,5．

[8]张景中.什么是“教育数学”[J].高等数学研究，2004,(6):2-6,2-6.

张奠宙.教育数学是具有教育形态的数学[J].数学教育学报,2005,14(4):1-4.

沈文选,吴仁芳.走进教育数学[J].数学教育学报,2009,18(4):5-8.

中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准(2011年版)［M］.北京:北京师范大学出版社，2011：6．

朱立明.基于深化课程改革的数学核心素养体系构建[J].中国教育刊,2016，(5):76-80.

[10]弗赖登塔尔．作为教育任务的数学［Ｍ］．陈昌平,唐瑞芬等,译.上海：上海教育出版社，1995:109-110,2.

[9]齐民友.教学用的数学[J].数学通报，2004(6)：2.